Wann Ist Eine Funktion Punktsymmetrisch

Zum Thema Symmetrie bei Figuren geht´due south hier. Es gibt bei Funktionen 2 wesentliche Arten von Symmetrie die ihr kennen müsst:

Die Achsensymmetrie liegt vor, wenn die Funktion eine senkrechte Spiegelachse lid.

diese liegt vor, wenn f(-x)=f(x) ist
diese Symmetrie kommt fast ausschließlich bei Funktionen mit geradem Exponenten und der Betragsfunktion vor.

Hier seht ihr ein Beispiel für Achsensymmetrie. Das Rote ist dice Symmetrieachse, was hier gleichzeitig die y-Achse ist.

Achsensymmetrie einer Funktion grafisch veranschaulicht

Schritt für Schritt Anleitung zur Bestimmung der Achsensymmetrie

Punktsymmetrie bedeutet, dass die Funktion einen Spiegelpunkt chapeau. An diesem Spiegeln sich alle Werte der Funktion.

Punktsymmetrie liegt vor, wenn -f(10)=f(-x) ist
Diese Symmetrie kommt unter anderem bei Funktionen mit ungeraden Exponenten vor

Hier ein Beispiel für Punktsymmetrie, dabei ist der Koordinatenursprung der Spiegelpunkt.

Punktsymmetrie einer Funktion grafisch veranschaulicht

Schritt für Schritt Anleitung zur Bestimmung der Punktsymmetrie

Möchtet ihr wissen, ob eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, geht ihr so vor:

Prüft, ob für f(-x)=f(x) dasselbe rauskommt, likewise setzt einmal -ten in die Funktion ein und schaut, ob dasselbe rauskommt wie bei +ten, wenn ja ist sie achsensymmetrisch.

Beispiel:

Ist diese Funktion achsensymmetrisch?

Kommt für f(-x) dasselbe für f(ten) raus? Also setzt statt x, -ten in die Funktion ein.

Beispiel zur Überprüfung einer Funktion auf Achsensymmetrie zur y-Achse

Wie ihr seht, kommt für f(-10) dasselbe raus, wie für f(ten). Also ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ist die Funktion nach links oder rechts verschoben (siehe Artikel zur Verschiebung), müsst ihr die Funktion ohne Verschiebung auf Achsensymmetrie untersuchen. Ist sie dann achsensymmetrisch, ist die verschobene Funktion ebenfalls achsensymmetrisch und die Spiegelachse ist um denselben Wert verschoben wie die Funktion.

Beispiel:

Ist diese Funktion achsensymmetrisch?

Wie ihr merkt, ist die Funktion um zwei nach rechts verschoben. As well müsst ihr sie erstmal ohne Verschiebung betrachten (lasst also die Zahl am x weg).

Überprüft nun die Funktion ohne Verschiebung auf Achsensymmetrie. Es kommt für -x und +x dasselbe raus, also ist die Funktion achsensymmetrisch.

Überprüfung der Funktion auf Achsensymmetrie

Wie ihr seht, ist dice Funktion achsensymmetrisch. Da sie aber um two nach rechts verschoben ist, ist auch die Symmetrieachse um 2 nach rechts verschoben.

Die Funktion und Symmetrieachse sehen dann so aus:

Grafische Darstellung der Funktion mit Symmetrieachse

Möchtet ihr wissen, ob eine Funktion zu einer bestimmten Achse symmetrisch ist, geht ihr so vor:

1. Setzt für 10 in die Funktion ten₀+h ein, dabei ist 10₀ die x-Koordinate bei der dice mögliche Symmetrieachse liegt. Mathematisch sieht das so aus:

Allgemeine Form zur Überprüfung einer Funktion auf Achsensymmetrie

2. Macht das ganze nochmal, nur mit einem Minus, also:

Zweiter Teil der allgemeinen Formel zur Überprüfung der Achsensymmetrie

3. Vereinfacht beides soweit wie möglich.

4. Kommt bei beidem dasselbe raus, dann ist diese Achse dice Symmetrieachse der Funktion

Beispiel:

Ist die Funktion f(10) = x²-4x+four achsensymmetrisch zu der Achse x = 2?

Setzt nun für jedes x, wie oben beschrieben, 2+h ein (2 ist 10₀, also die Stelle bei der die Achse liegt):

Beispiel zur Überprüfung einer Funktion auf Achsensymmetrie

Vereinfacht das soweit wie möglich:

Rechenschritte zur Bestimmung der Symmetrie einer Funktion

Setzt jetzt in dice Funktion two-h ein:

Beispiel des zweiten Teils der Überprüfung auf Achsensymmetrie

Vereinfacht auch das soweit wie möglich:

Lösung der Überprüfung auf Achsensymmetrie

Vergleicht beide Ergebnisse. Hier kommt beide Male h² raus, also sind dice Ergebnisse gleich. Somit ist x=2 die Symmetrieachse dieser Funktion.

Grafische Darstellung einer achsensymmetrischen Funktion

	Ist die Funktion f(x)=10^iv achsensymmetrisch?	Einblenden

	Ist die Funktion f(ten)=(x+2)ⁱⁱ+one achsensymmetrisch?	Einblenden

Möchtet ihr wissen, ob eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, geht ihr and so vor:

Punktsymmetrie liegt vor, wenn -f(x)=f(-x), as well nehmt einmal dice ganze Funktion mal -1 und einmal nur -x für x einsetzen, wenn beide Male dasselbe rauskommt, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel:

Ist diese Funktion punktsymmetrisch?

Nehmt einmal die Funktion mal -one und einmal setzt ihr für x, -10 ein. Wie ihr seht, kommt beide male dasselbe raus, also ist die Funktion punktsymmetrisch.

Rechenweg zur Überprüfung einer Funktion auf Punktsymmetrie zum Ursprung

Ist eine punktsymmetrische Funktion verschoben, müsst ihr aufpassen, dann müsst ihr nur die reine Funktion ohne Verschiebungen then überprüfen (likewise lasst die Verschiebung in y-Richtung und ten-Richtung weg). Die Verschiebungen sind dann der Symmetriepunkt (also ist es eine punktsymmetrische Funktion, aber z.B. 3 nach oben und eins nach links verschoben, dann ist der Symmetriepunkt (1|3)).

Beispiel:

Ist diese Funktion punktsymmetrisch?

Da diese Funktion verschoben ist, müsst ihr sie erstmal ohne Verschiebungen betrachten. Vom Beispiel weiter oben wisst ihr bereits, dass sie punktsymmetrisch ist.

Da die Funktion um 2 nach rechts und ane nach oben verschoben ist, ist der Spiegelpunkt genau an dieser Stelle.

Angabe des Spiegelpunkts dieser Funktion

Möchtet ihr eine Funktion auf Punktsymmetrie zu einem bestimmten Punkt überprüfen, macht ihr das so:

1.Setzt den Punkt, welcher der Symmetriepunkt sein soll, für x₀ und y₀ so in dice Funktion ein:

Erster Teil der Formel zur Überprüfung, ob eine Funktion zu einem bestimmten Punkt punktsymmetrisch ist.

(too setzt für x dice x-Koordinate des Punktes in die Funktion ein plus h, dann zieht ihr von der Funktion die y-Koordinate des vermutlichen Symmetriepunktes ab, siehe Beispiel).

two. Setzt den Punkt, welcher der Symmetriepunkt sein soll, für x₀ und y₀ jetzt so in die Funktion ein:

Zweiter Teil der Formel zur Überprüfung, ob eine Funktion punktsymmetrisch zu einem bestimmten Punkt ist

3. Vereinfacht beides soweit wie möglich. Kommt bei beiden dasselbe raus, dann ist der Punkt der Symmetriepunkt.

Beispiel:

Ist diese Funktion punktsymmetrisch zum Punkt (-1|2):

Setzt alles in die Formel von oben ein, also für x setzt ihr (-1+h) ein (-1 ist die ten-Koordinate vom Punkt). Am Ende zieht ihr dann ii ab (yKoordinate vom Punkt).

Beispiel zur Überprüfung einer Funktion auf punktsymmetrie zu einem bestimmten Punkt

Vereinfacht das dann soweit wie möglich:

Ausführlicher Rechenweg zur Überprüfung auf Punktsymmetrie

Jetzt setzt ihr alles genauso in die Gleichung von Schritt two ein:

Einsetzen in den zweiten Teil der Formel zur Überprüfung auf Punktsymmetrie

Vereinfacht das dann wieder soweit wie möglich:

Ausführlicher Rechenweg zum zweiten Teil der Überprüfung auf Punktsymmetrie

Wie ihr jetzt seht, kommt bei beiden Formeln dasselbe raus, also ist die Funktion zum Punkt (-1|2) symmetrisch.

Grafische Darstellung einer punktsymmetrischen Funktion

	Ist die Funktion f(x)=10^five punktsymmetrisch?	Einblenden

	Ist dice Funktion f(x)=(x+3)³-1 punktsymmetrisch?	Einblenden

Aufgaben zu diesem Thema findet ihr über den Button unten. Dort könnt ihr euch Arbeitsblätter downloaden. Lösungen zu den Aufgaben findet ihr dort ebenfalls:

Source: https://www.studimup.de/abitur/analysis/symmetrie/

Posted by: frederickshabligne.blogspot.com